РОЗДІЛ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА § 1. Дії над векторами 1.Основні поняття. Вектором називається впорядкована пара точок, тобто напрямлений відрізок. Якщо точка
– початок, а точка
– кінець вектора, то вектор позначається символом
. Вектор часто позначають одною малою літерою, наприклад,
. Відстань між початком і кінцем вектора називається модулем, або довжиною вектора і позначається символом
, або
. Два вектори називаються колінеарними, якщо існує пряма до якої вони паралельні. Колінеарність векторів
та
позначається записом
. Три вектори називаються компланарними, якщо існує площина до якої вони паралельні. Якщо кінець вектора збігається з його початком, то такий вектор називається нульовим і позначається символом
. Нуль-вектор – єдиний вектор, який не визначає жодного напряму. Два вектори називаються рівними, якщо вони рівні за довжиною, колінеарні й однаково напрямлені. Звідси випливає, що в математиці точка прикладання вектора не відіграє істотної ролі і вектор можна переносити паралельно до самого себе. 2. Лінійні операції над векторами. Сумою двох векторів
та
називається вектор, який збігається з діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах
та
як на сторонах. Сума векторів
та
позначається
. Подане означення суми двох векторів має назву правила паралелограма. З означення суми двох векторів випливає, що якщо початок вектора
сумістити з кінцем вектора
, то початок вектора
збігається з початком вектора
, а кінець – з кінцем вектора
. Це правило називається правилом трикутника.
 Правило трикутника особливо зручне при сумуванні великого числа векторів. Добутком вектора
на скаляр (число)
називається вектор
, який визначається такими умовами:
;
, до того ж при

співнапрямлений з
, а при

протилежно напрямлений до
. Добуток вектора
на скаляр
позначається
. Вектор
називається протилежним до вектора
і позначається
. Різницею двох векторів
та
називається вектор
і позначається
. Легко переконатися, що різиця двох векторів є вектором з початком у кінці вектора-від”ємника та кінцем у кінці вектора-зменшуваного. Справді, з рисунка,
, тобто
. Зазначимо, що операція додавання векторів та операція множення вектора на скаляр разом називаються лінійними операціями над векторами. 3. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори. Кажуть, що вектор
, де
– деякі числа, є лінійною комбінацією векторів
, або що вектор
розкладено за векторами
. Числа
, називаються коефіцієнтами лінійної комбінації. Вектори
називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа
, серед яких є хоч би одне ненульове, що їх лінійна комбінація
є нульовою, тобто
; якщо ж рівність
можлива лише при умові, що
, то вектори
називаються лінійно незалежними. Очевидно, що будь-яка система векторів, якій належить нульовий вектор, лінійно залежна. 4. Лінійна залежність та колінеарність. Виявляється, що поняття лінійної залежності двох векторів збігається з поняттям колінеарності цих векторів. Теорема 1. Два ненульові вектори
та
колінеарні тоді і лише тоді, коли існує таке ненульове число
, що
. Доведення.Нехай для пари ненульових векторів
та
існує таке ненульове число
, що
. З означення добутку вектора на скаляр
, або, що те саме,
. Навпаки, нехай
. Перенесемо вектор
паралельно до самого себе так, щоб його початок збігався з початком вектора
. Тоді вектори
та
мають спільний початок і лежать на одній прямій. Якщо вектори
та
співнапрямлені, то при

; якщо ж вектори
та
протилежно напрямлені, то
при
. Теорема 2. Два вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, к...